Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．
（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范围；
（3）若t=-2，求△PCQ的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值；
（2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可；
（3）由t=-2可知y=-2，把y=-2代入抛物线的解析式可求出P，Q的横坐标，进而求出PQ的长，根据C的纵坐标可求出PQ边上高的长，利用三角形的面积公式计算即可求出△PCQ的面积．

解答：解：（1）将点A、点B的坐标代入可得：

a+b-3=0 9a-3b-3=0

，
解得：

a=1 b=2

，
∴a=1，b=2；
（2）抛物线的解析式为y=x²+2x-3，直线y=t，
联立两解析式可得：x²+2x-3=t，即x²+2x-（3+t）=0，
∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，
∴△=4+4（3+t）＞0，
解得：t＞-4；
（3）当t=-2时，即y=-2，把y=-2代入抛物线解析式y=x²+2x-3得：-2=x²+2x-3，
解得：x=-

2

-1或

2

-1，
∴PQ=|-

2

-1|+|

2

-1|=2

2

，
∵C点的坐标为（0，-3），t=-2，
∴PQ边上的高为：3-2=1，
∴△PCQ的面积=

1

2

×1×2

2

=

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程等知识点．第（3）问中，注意抛物线上点的坐标特征．