Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=2，∠C=

1

2

∠A．
（1）求BC的长；
（2）利用尺规作图画出△BCD的外接圆，并求出外接圆半径r．（不写作法，保留作图痕迹）

Answer 1

考点：作图—复杂作图,等腰梯形的性质,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：（1）首先过D作DE∥AB，然后证明四边形ABED是平行四边形可得AD=BE=2，早根据等腰梯形的性质可得∠A=∠ADC，∠ADC+∠C=180°，AB=DC，进而算出∠C=60°，再证明△DEC是等边三角形，可得EC=2，进而得到BC长；
（2）首先画出图形，然后可证明BC就是直径，进而得到半径．

解答：解：（1）过D作DE∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE=2，AB=DE，
∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠ADC+∠C=180°，AB=DC，
∵∠C=

1

2

∠A．
∴∠C=

1

2

∠ADC，
∵∠ADC+∠C=180°，
∴∠C=60°，
∵AB=DE，AB=DC，
∴DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∵CD=2，
∴EC=2，
∴CB=4；

（2）如图所示：
∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=30°，
∵∠ABC=∠C=60°，
∴∠BDC=90°，
∴BC是直径，
∴外接圆半径r=2．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的画法和性质，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．