如图.四边形OABC的四个顶点坐标分别为O.C(0.4).直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M.N(M在折线AOC上.N在折线ABC上)．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1.在l左上方部分的面积为S2.记S为S1.S2的差．(1)求∠OAB的大小,(2)当M.N重合时.求l的解析式,(3)当b≤0时.问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在.求b的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在

折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S₁，在l左上方部分的面积为S₂，记S为S₁、S₂的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．

分析：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．求出点E的坐标，求出等腰直角三角形ABE即可；
（2）把A（8，0）C（0，4）点代入y=x+b求出即可；
（3）求出梯形的面积，过点N作x轴的垂线NH，得到NH=AH=MH，设NH=a，代入面积公式求出a，代入解析式求出b即可；
（4）分为三种情况：①当0≤b≤4时，②当4

-8≤b＜0时，③③-8＜a＜-8+4

时，设直线AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解两直线组成的方程组，求出交点坐标，根据梯形和三角形的面积求出S即可．

解答：

解：（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）当点M、N重合时，
∵S≥0，
∴应重合到点C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直线l的解析式y=x+4．

（3）四边形OABC的面积为

×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，

×2a×a=12，
解得：a=2

，
∴OH=8-2

，
∴点N的坐标为（8-2

，2

），
代入y=x+b得：b=4

-8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4

-8．

（4）分为三种情况：①如图在N₁、M₁时，当4

-8≤b＜0时，

OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：

0=8c+d

4=4c+d

，
解得：

c=-1

d=8

，
y=-x+8，
解方程组

y=-x+8

y=x+b

得：

8-b

8+b

，
S₁=

AM×NH=

×2×

8+b

b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=|S₁-S₂|=

b²+4b+16-[24-（

b²+4b+16）]=

b²+8b+8，
②当0≤b≤4时，如图在N₂、M₂点时，OM=b，CM=4-b，

S₂=

（4-b）²，S₁=24-S₂，
S=S₁-S₂=-b²+8b+8，
③-8＜a＜-8+4

时，如图，在N₃、M₃时，S₁=

×2×

8+b

b²+4b+16；
S₂=24-S₁，
S=S₂-S₁=[24-（

b²+4b+16）]-（

b²+4b+16）=-

b²+8b+8，

点评：本题主要考查对三角形的面积，梯形，等腰直角三角形，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．

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（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．