Question

2．如图，抛物线y=x²+bx经过原点O，与x轴相交于点A（1，0），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上方构造一个平行四边形OABC，使点B在y轴上，点C在抛物线上，连结AC．
①求直线AC的解析式．
②在抛物线的第一象限部分取点D，连结OD，交AC于点E，若△ADE的面积是△AOE面积的2倍，这样的点D是否存在？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=x²+bx中求出b的值即可得到抛物线解析式；
（2）①根据平行四边形的性质得BC=OA=1，BC∥OA，则C点的横坐标为-1，再计算对应的函数值即可得到C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
②分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，根据三角形面积公式可判断DE=2OE，再证明△ONE∽△OMD，则利用相似比可得$\frac{EN}{DM}$=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{1}{3}$，于是设E（t，-t+1），则D（3t，-3t+3），然后把D（3t，-3t+3）代入y=x²-x得关于t的一元二次方程，再解方程即可得到满足条件的D点坐标．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=x²+bx得1+b=0，解得b=-1，
所以抛物线解析式为y=x²-x；
（2）①∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=1，BC∥OA，
∴C点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=x²-x=1-（-1）=2，则C（-1，2），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（1，0），C（2，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=0}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-x+1；
②存在．
分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，如图，
∵△ADE的面积是△AOE面积的2倍，
∴DE=2OE，
∵EN∥DM，
∴△ONE∽△OMD，
∴$\frac{EN}{DM}$=$\frac{ON}{OM}$=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
设E（t，-t+1），则D（3t，-3t+3）
把D（3t，-3t+3）代入y=x²-x得9t²-3t=-3t+3，解得t₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，t₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去），
∴点D的坐标为（$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$+3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数的解析式；理解坐标与图形的性质；灵活利用相似比求线段之间的关系．