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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=AD=10，DC=4，动圆⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，过点D作⊙O的切线DP交边CB于点P．
    （1）当⊙O与BC相切时（如图1），求CP的长；
    （2）当⊙O与BC边没有公共点时，设⊙O的半径为r，求r的取值范围；
    （3）若⊙O′是△CDP的内切圆（如图2），试问∠ODO′的大小是否改变？若认为不变，请求出∠ODO′的正切值；若认为改变，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，由题意得DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，则DP+AB=BP+AD，过D作DH⊥AB于H，根据四边形ABCD为直角梯形，得DH=BC，AH=6，设CP=x，则BP=8-x，则在Rt△DCP中，由勾股定理求得x即可；
    （2）延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，即可求得AG，BG，再由三角形的面积公式求出圆的半径，即可得出半径的取值范围；
    （3）由题意得出∠ODO′=
    1
    2
    ∠ADC    ，再因为AB∥CD，则∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠BDC，∠BDC=
    1
    2
    ∠ADC    ，从而求得tan∠ODO′的值．
    解答：精英家教网解：（1）设⊙O与BC相切于点Q，与DP相切于点K，
    ∵⊙O与AD边相切于点M，与AB边相切于点N，
    ∴DM=DK，AM=AN，BN=BQ，PQ=PK，
    ∴DK+PK+AN+BN=DM+PQ+AM+BQ，即DP+AB=BP+AD．
    ∵AB=AD，
    ∴DP=BP．
    过D作DH⊥AB于H，
    ∵ABCD为直角梯形，DC∥AB，∠ABC=90°，
    ∴DH=BC，AH=AB-DC=6，
    ∵AD=10，
    ∴BC=8．
    设CP=x，则BP=8-x，
    则在Rt△DCP中，DC2+CP2=DP2，即16+x2=（8-x）2
    ∴x=3，即CP=3．

    （2）图1中，延长AD、BC交于G，则⊙O为△ABG的内切圆，
    ∵DH⊥AB，
    ∴AB：AG=cosA=AH：AD，
    ∴AG=
    50
    3
    ，
    ∴BG=
    40
    3
    ，
    ∵
    1
    2
    (AG+BG+AB)r1=S△ABG=
    1
    2
    AB•BG    ，
    ∴r1=
    10×
    40
    3
    40
    3
    +
    50
    3
    +10
    =
    10
    3
    ．
    ⊙O为△ABD的内切圆，
    在Rt△CBD中，DC=4，CB=8，
    ∴BD=4
    		5
    ，
    ∵
    1
    2
    (AB+BD+AD)r2=S△ABD=
    1
    2
    AB•DH    ，
    ∴r2=
    10×8
    10+4
    		5+
    10
    =
    20
    5+
    		5
    =5-
    		5
    ，
    ∴5-
    		5
    ≤r＜
    10
    3
    ．

    （3）∠ODO′的大小不变．精英家教网
    ∵⊙O与AD、DP相切，
    ∴∠1=∠2，
    同理∠3=∠4，
    ∴∠ODO′=∠2+∠3=
    1
    2
    (2∠2+2∠3)    =
    1
    2
    ∠ADC    ，
    ∵在△ABD中，AB=AD，
    ∴∠ABD=∠ADB，
    又∵AB∥CD，
    ∴∠ABD=∠BDC，
    ∴∠ADB=∠BDC，
    ∴∠BDC=
    1
    2
    ∠ADC    ，
    ∴tan∠ODO’=tan
    1
    2
    ∠ADC    =tan∠BDC=
    CB
    CD
    =2．
    点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了三角形的内切圆和内心、勾股定理、切线长定理、解直角三角形等知识点，难度较大．
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    cm．

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    （4）以CD为直径的圆与AB相切；
    （5）△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
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    A、2个B、3个C、4个D、5个

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    （2）求AE的长．

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    42
    ．

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