Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF=∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF=CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．

解答 证明：如图：延长BE交AC于点F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB=∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE
在△ABE和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AEF}\\{AE=AE}\\{∠BAE=∠FAE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF．
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，
∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C，
∴∠C+2∠CBF=3∠C，
∴∠CBF=∠C．
∴BF=CF，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$CF．
∵CF=AC-AF=AC-AB，
∴BE=$\frac{1}{2}$（AC-AB）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF=∠C是解题关键．