Question

已知AC、CD分别切⊙O于A、D两点，连接BD．
（1）如图1，若∠ABD=60°，求证：AC=

3

BD；
（2）如图2，若tan∠ABD=

5

，连接BC，求tan∠CBD的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线长定理和切线的性质得CA=CD，OA⊥CA，则∠CAD+∠BAD=90°，由AB为直径，根据圆周角定理得∠ADB=90°，利用等角的余角相等得∠CAD=∠B=60°，则△CAD为等边三角形，所以AC=AD，在Rt△ADB中，利用∠B的正切得到AD=

3

BD，于是得到AC=

3

BD；
（2）作CH⊥AD，在Rt△ABD中，根据正切的定义得tan∠ABD=

AD

BD

=

5

，则可设AD=

5

x，BD=x，由于CA=CD，根据等腰三角形的性质得AH=DH=

5

2

x，
在（1）中得到∠CAD=∠ABD，所以在Rt△ACH中，tan∠CAD=

CH

AH

=

5

，可计算出CH=

5

2

x；再证明△CHP∽△BDP，利用相似比得到

PH

DP

=

CH

BD

=

5

2

，所以DP=

2

7

DH=

5

7

x，在Rt△BDP中，根据正切的定义求解即可．

解答：（1）证明：∵AC、CD分别切⊙O于A、D两点，
∴CA=CD，OA⊥CA，
∴∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∴∠CAD=∠B=60°，
∴△CAD为等边三角形，
∴AC=AD，
在Rt△ADB中，tanB=

AD

BD

，
∴AD=BDtan60°=

3

BD，
∴AC=

3

BD；

（2）解：作CH⊥AD，如图2，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

5

，
设AD=

5

x，BD=x，
∵CA=CD，
∴AH=DH=

5

2

x，
在（1）中得到∠CAD=∠ABD，
在Rt△ACH中，tan∠CAD=

CH

AH

=

5

，
∴CH=

5

2

x•

5

=

5

2

x，
∵∠CHD=∠HDB=90°，
∴CH∥BD，
∴△CHP∽△BDP，
∴

PH

DP

=

CH

BD

=

5 2 x

x

=

5

2

，
∴DP=

2

7

DH=

2

7

•

5

2

x=

5

7

x，
在Rt△BDP中，tan∠DBP=

DP

BD

=

5 x 7

x

=

5

7

，
即tan∠CBD=

5

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质和锐角三角函数．