Question

4．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论．
（2）由等边三角形的性质得出∠C=60°，AD=CD，BD⊥AC，证出DE是直角三角形BDC斜边上的中线，得出DE=CE，证出△DCE是等边三角形，得出DE=CD=AD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF．
（2）解：当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF是菱形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线，
∴∠C=60°，AD=CD，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵BE=DE，
∴DE是直角三角形BDC斜边上的中线，
∴DE=CE，
∴△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=AD，
由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．