Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．

Answer 1

分析：Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；
延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE•BF=BD•BA，由此可求出BD的长，进而可求得AD的长．

解答：解：法1：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；
根据勾股定理，得AB=5．
延长BC交⊙C于点F，则有：
EC=CF=AC=3（⊙C的半径），
BE=BC-EC=1，BF=BC+CF=7；
由割线定理得，BE•BF=BD•BA，
于是BD=

BE•BF

BA

=

7

5

；
所以AD=AB-BD=

18

5

；
法2：过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，

由垂径定理可得M为AD的中点，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=

12

5

，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即9=AM²+（

12

5

）²，
解得：AM=

9

5

，
∴AD=2AM=

18

5

．

点评：此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．