Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=$\frac{3}{2}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；
（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；
（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．

解答 解：（1）连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OM}\\{∠COH=∠MOH}\\{OH=OH}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线；

（2）∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC=MH=$\frac{3}{2}$，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2；

（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO=$\sqrt{13}$，
∵$\frac{1}{2}$AC•OC=$\frac{1}{2}$AO•CI，
∴CI=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
∴由垂径定理可求得：CN=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN²-CE²=ON²-OE²，
∴$\frac{144}{13}$-（2+x）²=4-x²，
∴x=$\frac{10}{13}$，
∴OE=$\frac{10}{13}$，
由勾股定理可求得：EN=$\frac{24}{13}$，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN=$\frac{48}{13}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．