Question

已知x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x₁、x₂（x₁＜x₂）．O为坐标原点，P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β．
（1）若α、β都是锐角，求k的取值范围．
（2）当α、β都是锐角，α和β能否相等？若能相等，请说明理由；若不能相等，请证明，并比较α、β的大小．

Answer 1

解：（1）∵x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x₁、x₂（x₁＜x₂）．
∴△=k²-10k-7＞0得k＜5-4或k＞5+4，
若α、β都是锐角，
∴点A、B在原点两旁，
∴x₁•x₂＜0，
∴k＜-4；

（2）设α=β，
则x₁+x₂=0，
∴k=3，
所以α≠β；
因为x₁+x₂=k-3＜-7＜0，
所以|x₁|＞|x₂|，
所以OA＞OB，
则PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．
分析：（1）由于x₁、x₂是方程x²-（k-3）x+k+4=0的两个实根，由于得到其判别式是正数，由此可以确定k的取值范围，而A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），O为坐标原点，P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β，若α、β都是锐角，由此得到点A、B在原点两旁，所以x₁•x₂＜0，这样就可以解决问题；
（2）若α=β，则x₁+x₂=0，由此得到k=3，所以判别式是正数，所以的得到α≠β；然后利用根与系数的关系即可得到α、β的大小关系．
点评：此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，首先利用判别式确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系即可解决问题．