某岛是我国南海上的一个岛屿.小明据此构造出该岛的一个数学模型如图甲所示.其中∠B=90°.AB=100$\sqrt{3}$千米.∠BAC=30°.请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数.参考数据$\sqrt{2}$≈1.414.$\sqrt{3}$≈1.73.$\sqrt{6}$≈2.45),(2)国家为了建设的需要.在原有岛屿基础上沿� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．某岛是我国南海上的一个岛屿，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图甲所示，其中∠B=90°，AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°，请据此解答如下问题：
（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）；
（2）国家为了建设的需要，在原有岛屿基础上沿海岸线AC向海洋填海，扩充岛屿的面积（如图乙），填成一个以AC为直径的半圆，点D在这个半圆上，求当△ACD的面积最大时，△ACD另外两条边的边长．

分析（1）根据直角三角形的性质和AB=100$\sqrt{3}$千米，∠BAC=30°求出AC、BC的长，根据周长和面积公式求出答案．
（2）当D是AC的中点时，△ACD的面积最大，求出另外两条边的边长即可．

解答解：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，AB=100$\sqrt{3}$，
∴AC=200，BC=100，
∴C_△ABC=200+100+100$\sqrt{3}$=300+100$\sqrt{3}$≈473米，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×100×100$\sqrt{3}$≈8650米，
（2）∵以AC为一边的面积最大的三角形另一个顶点D应是$\widehat{AC}$的中点，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=100$\sqrt{2}$≈141.4米．

点评本题考查的是解直角三角形的应用，正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．

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