Question

方程（2008x）²-2007×2009x-1=0的较大根为a，方程x²-2008x-2009=0的较小根为b，求（a+b）²⁰⁰⁹的值．

Answer 1

分析：根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．

解答：解：（2008x）²-2007×2009x-1=0，
原方程可化为，
2008²x²+（-2008²+1）x-1=0，
（x-1）（2008²x+1）=0，
解得x₁=1，x₂=-

1

20082

．
∴a=1，
∵所求方程x²-2008x-2009=0，
则原方程可化为，（x+1）（x-2009）=0，
解得x₃=-1，x₄=2009．
∴b=-1．
则a+b=1-1=0，
故（a+b）²⁰⁰⁹=0．

点评：本题考查了解一元二次方程的方法，难度较大，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
十字相乘法：x²+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．