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19.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边上的中点,点M是AB上的一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD、AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:①当AM=1 时,四边形AMDN是矩形;②当AM=2 时,四边形AMDN是菱形.

分析 (1)利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可;
(2)①有(1)可知四边形AMDN是平行四边形,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°,所以AM=$\frac{1}{2}$AD=1时即可;
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时,四边形为菱形,利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴ND∥AM,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,
又∵点E是AD边的中点
∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,
∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)解:①当AM的值为1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:
∵AM=1=$\frac{1}{2}$AD,
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°,
∴∠AMD=90°,
∴平行四边形AMDN是矩形;
故答案为:1;
②当AM的值为2时,四边形AMDN是菱形.理由如下:
∵AM=2,
∴AM=AD=2,
∴△AMD是等边三角形,
∴AM=DM,
∴平行四边形AMDN是菱形,
故答案为:2.

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质,解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质.

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9.把下面的证明过程补充完整.
已知:如图:△ABC'中,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,EF交AB于点G,交CA的延长线于点E,AD平分∠BAC.
求证:∠1=∠2
证明:∵AD⊥BC于点D,FF⊥BC于点F(己知)
∴∠ADC=90°,∠EFC=90°(垂直定义)
∴∠ADC=∠EFC(等量代换)
∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行)
∴∠1=∠BAD(两直线平行,同位角相等)
∠2=∠CAD(两直线平行,同位角相等)
∵AD平分∠BAC(己知)
∴∠BAD=∠CAD(角平分线定义)
∴∠1=∠2(等量代换)

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