Question

19．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=10cm，DC=17cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°，得到△D₁CE₁，如图②，这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）求∠OFD₁的度数；
（2）求线段AD₁的长；
（3）若把△D₁CE₁绕着点C顺时针再旋转30°，得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部、外部，还是边上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设D₁E₁与BC交于点G，求出∠CGE₁，根据对顶角相等求出∠FGB，即可解决问题．
（2）首先证明OA=OC，∠AOC=90°，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可解决问题．
（3）设直线CB交D₂E₂于点M，求出CM与BC比较即可判断．

解答 解：（1）设D₁E₁与BC交于点G，

在Rt△CE₁G中，∠GCE₁=15°，
∴∠CGE₁=75°，
∴∠FGB=∠CGE₁=75°，又∠B=45°，
∴∠OFD₁=∠BFG=60°　

（2）由旋转知∠ACO=45°，
∴∠CAO=∠ACO=45°，∠AOC=90°，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AB=5cm，
∴OD₁=12cm，可证∠AOD₁=∠AOC=90°，
在Rt△AOD₁中，AD₁=$\sqrt{O{A}^{2}+O{{D}^{2}}_{1}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13cm　

（3）设直线CB交D₂E₂于点M，

∴∠MCE₂=45°，∠E₂=90°，
∴CE₂=ME₂=$\frac{17}{2}$，
∴CM=$\frac{17}{2}$$\sqrt{2}$，
而CB=5$\sqrt{2}$＜CM，
故点B在△D₂CE₂的内部．

点评 本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解旋转角的定义，灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．