Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD＝3，AC＝6，求图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连结OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD．

∴∠OCA=∠CAD，

∴∠CAD=∠CAO．

∴AC平分∠BAD．

（2）解：连结OE，作OH⊥AE，

∵CD＝3，AC＝6，AD⊥CD，

∴∠CAD=∠CAO =∠OCA=30°，

∴∠DAO=60°，∠AOC=120°．

∵OE=OA，

∴△AOE为等边三角形．

∴∠AOE=60°，

∴OE⊥CA．

∴AO=OC=2 ，OH=3．

∴S阴影= S扇形－S△AOE＝ －3 ＝2π－3

【解析】（1）连结OC，根据等边对等角得出∠OAC=∠OCA，根据切线的性质得出OC⊥CD，又AD⊥CD，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出OC∥AD，根据二直线平行内错角相等得出∠OCA=∠CAD，进而得出结论；
（2）连结OE，作OH⊥AE，根据Rt△ADC中一条直角边等于斜边的一半从而这条直角边所对的锐角等于30，得出∠CAD=∠CAO =∠OCA=30°，进而得出∠DAO=60°，∠AOC=120°，根据含60的等腰三角形是等边三角形得出△AOE为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOE=60°，进而得出OE⊥CA，根据含30的直角三角形的边角关系得出AO=OC=2 ，OH=3，然后利用S阴影= S扇形－S△AOE算出结果。

【考点精析】关于本题考查的平行线的判定与性质和三角形的面积，需要了解由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．