Question

若两条平行线被第三条直线所截，则同位角的平分线互相

 

；内错角的平分线互相

 

；同旁内角的平分线互相

 

．

Answer 1

分析：若两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，则同位角的平分线与第三条直线组成的角相等，所以同位角的平分线互相平行，同理内错角的平分线互相平行，因为两直线平行，同旁内角互补，所以同旁内角的平分线互相垂直．

解答：解：（1）如图1，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠BOE、∠DMO的平分线．
∵AB∥CD，
∴∠BOE=∠DMO（两直线平行，同位角相等）．
∵OP、MN分别是∠BOE、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠BOE，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（同位角相等，两直线平行）；

（2）如图2，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠AOM、∠DMO的平分线．
∵AB∥CD，
∴∠AOM=∠DMO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP、MN分别是∠AOM、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠AOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（内错角相等，两直线平行）；

（3）如图3，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点O、M，OP、MN分别是∠BOM、∠DMO的平分线，并相交于点H．
∵AB∥CD，
∴∠BOM+∠DMO=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵OP、MN分别是∠BOM、∠DMO的平分线，
∴∠1=

1

2

∠BOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1+∠2=90°，
在△OMH中，
∠1+∠2+∠OHM=180°，
∴∠OHM=180°-90°=90°，
即OP⊥MN．

点评：此题主要考查了平行线的判定定理即平行线的判定定理一两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简记为：内错角相等，两直线平行）．平行线的判定定理二两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简记为：同旁内角互补，两直线平行）．