Question

如图所示，在平面直角坐标系X0Y中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A、B和D(4，)．

(1)求抛物线的表达式．

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设S＝PQ²(cm²)．

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

(3)在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)，D(4，－)，则解得 　　∴抛物线的解析式为：　3分(三个系数中，每对1个得1分) 　　(2)①由图象知：PB＝2－2t，BQ＝t，∴S＝PQ2＝PB2＋BQ2＝(2－2t)2＋t2， 　　即S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)　5分(解析式和t取值范围各1分) 　　②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形． 　　∵S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)， 　　∴当S＝时，5t2－8t＋4＝，得20t2－32t＋11＝0， 　　解得t＝，t＝(不合题意，舍去)　7分 　　此时点P的坐标为(1，－2)，Q点的坐标为(2，－) 　　若R点存在，分情况讨论： 　　1)假设R在BQ的右边，这时QRPB，则，R的横坐标为3，R的纵坐标为－ 　　即R(3，－)，代入，左右两边相等， 　　∴这时存在R(3，－)满足题意．　8分 　　2)假设R在BQ的左边，这时PRQB，则：R的横坐标为1，纵坐标为－即(1，－)代入，左右两边不相等，R不在抛物线上．　9分 　　3)假设R在PB的下方，这时PRQB，则：R(1，－)代入， 　　左右不相等，∴R不在抛物线上．　10分 　　综上所述，存在一点R(3，－)满足题意． 　　(3)∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B，过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为(1，－)　12分