Question

以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．
（1）如图1，△ABC中∠BAC=90°时，AM与ED大小的关系是______．AM与ED的位置关系是______；
（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是______．试证明你的结论；
（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．

Answer 1

解：（1）如图，延长AM到N，使AM=MN，连接BN，延长MA交DE于H，
易证△BMN≌△CMA，
则BN=AC=AD，∠ABN=∠ABC+∠CBN=∠ABC+∠ACB=90°，
所以，△ADE≌△ACB，
所以，ED=AN=2AM，
故答案为：ED=2AM，AM⊥ED；

（2）ED=2AM，AM⊥ED；
证明：延长AM到N，使MN=AM，连BN，则ABNC是平行四边形．
∴AC=BN，∠ABN+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABN=∠DAE．
再证：△DAE≌△ABN
∴DE=2AM，∠BAN=∠EDA．
延长MN交DE于K，
∵∠BAN+∠DAK=90°，
∴∠KDA+∠DAK=90°．
∴AM⊥ED．

（3）ED=2AM，AM⊥ED．
分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．由于△ABC是直角三角形，根据已知条件和斜边上的中线等于斜边的一半就可以得到ED=BC=2AM，然后利用斜边上的中线的性质和已知条件可以证明AM⊥ED；
（2）ED=2AM，AM⊥ED．延长AM到N，使MN=AM，连BN，则ABNC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAE≌△ABN，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM，∠BAN=∠EDA，再延长MN交DE于K，因为∠BAN+∠DAK=90°，所以∠KDA+∠DAK=90°这样就证明了AM⊥ED；
（3）ED=2AMAM⊥ED．根据（2）的证明过程可以知道，结论和等腰直角△ABE和△ACD的位置没有关系，仍然可以得到△DAE≌△ABN，也即仍然结论成立．
点评：本题综合考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，此题是开放性试题，利用等腰直角三角形的性质进行探究，由特殊到一般最后得到一般图形变换的规律．