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如图,已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.


(1)把A(1,-4)代入y=kx-6,得k=2,∴y=2x-6,∴B(3,0).

∵A为顶点,∴设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4,解得a=1,∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3  

(2)存在.∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC,

此时PO平分第三象限,即PO的解析式为y=-x.

设P(m,-m),则-m=m2-2m-3,解得m=(m=>0,舍),

∴P().                                               

(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,∴,即,∴DQ1=

∴OQ1=,即Q1(0,);

②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,

,即

∴OQ2=,即Q2(0,);

③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,

则△BOQ3∽△Q3EA,

,即

∴OQ32-4OQ3+3=0,∴OQ3=1或3,

即Q3(0,-1),Q4(0,-3).

综上,Q点坐标为(0,)或(0,)或(0,-1)或(0,-3).


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