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11.如图,等边△ABC的边长是6,点E,F分别在AC,BC边上,AE=CF,连接AF,BE相交于点P.
(1)求∠APB的度数;
(2)若AE=2,求BP•BE的值.

分析 (1)证明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;
(2)用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理即可以得到答案.

解答 (1)解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°-∠APE=120°.

(2)∵∠BAC=∠APE=60°,∠PAE=∠EBA,
∴△APE∽△ABE
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{BP}{AB}$,
∴BP•BE=12

点评 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用,解答本题的关键是注意转化思想的运用.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

1.已知如图,△ABC为等腰三角形,D为CB延长线上一点,连AD且∠DAC=45°,BD=1,CB=4,则AC长为2$\sqrt{10}$.

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2.三角形三边长分别为15、20、25,则最短边上的高为(  )
A.15B.20C.24D.25

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19.如图,已知?ABCD中,E、F为对角线BD上的两点.
(1)若BF=DE,求证:AE=CF.
(2)若AE=CF,能否说明BF=DE?若能,请说明理由;若不能,请画出反例加以说明.

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6.在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E在BC上,CD=BE=AB,点F是AE的中点,连接CF并延长CF交AB于点G.
(1)如图1,若AD=3,AE=$\sqrt{10}$,求CD的长;
(2)如图2,若AD=BD,求证:BG=BD.

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16.在平面直角坐标系中,点A(5,0),点B是y轴上一点,若AB=$\sqrt{41}$,则点B的坐标为B(0,±4).

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3.如果一个三角形一边上的中线的长与另两边中点的连线段的长相等,我们称这个三角形为“等线三角形”,这条边称为“等线边”.在等线三角形ABC中,AB为等线边,且AB=3,AC=2,那么BC=$\sqrt{5}$.

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20.如图所示,四边形ABCD中,AD=BC,AC为对角线,且∠DAC=∠BCA,AD⊥CD;
(1)如图1,求证:四边形ABCD为矩形;
(2)如图2,E为AB上一点,连接CE,在CE上取点F,连接AF,且∠FAC=∠ECB,∠DCA=∠DAF,求证:CF=2EB;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接BF并延长,若BF的延长线过点D,当DF=4时,求CF的长度.

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

1.如图,把矩形ABCD沿EF折叠,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是(  )
A.16$\sqrt{3}$B.24C.12$\sqrt{3}$D.12

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