Question

【题目】菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：

（1）求点D的坐标；

（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k=　 　；

（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）

【解析】

（1）由线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，且CD＞DE，可求出CD、DE的长，由四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可求得D点的坐标.

(2)由（1）可得OB、CM，可得B、C坐标，进而求得H点坐标，由反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，可求的k的值;

(3)分别以CF为平行四边形的一边或者为对角线的情形进行讨论即可.

（1）x2﹣9x+18=0，

（x﹣3）（x﹣6）=0，

x=3或6，

∵CD＞DE，

∴CD=6，DE=3，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AE=EC==3，

∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，

Rt△DEM中，∠DEM=30°，

∴DM=DE=，

∵OM⊥AB，

∴S菱形ABCD=ACBD=CDOM，

∴=6OM，OM=3，

∴D（﹣，3）；

（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，

∴B（，0），C（，3），

∵H是BC的中点，

∴H（3，），

∴k=3×=；

故答案为：；

（3）

①∵DC=BC，∠DCB=60°，

∴△DCB是等边三角形，

∵H是BC的中点，

∴DH⊥BC，

∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，

∵FC=FB，

∴∠FCB=∠FBC=30°，

∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，

∴AB⊥BF，CP⊥AB，

Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，

∴FB=2=CP，

∴P（，）；

②

如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，

∴CQ∥PH，

由①知：PH⊥BC，

∴CQ⊥BC，

Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，

∴∠BQC=30°，

∴CQ=6，

连接QA，

∵AE=EC，QE⊥AC，

∴QA=QC=6，

∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，

∴∠QAB=90°，

∴Q（﹣，6），

由①知：F（，2），

由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；

③

如图3，四边形CQFP是平行四边形，

同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），

∴P（，﹣）；

综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．