Question

在△ABC中，作DE∥BC，连BE、CD交于一点G，连AG延长至BC上于Q．证明：Q是BC中点．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：利用平行线分线段成比例定理的性质以及三角形面积公式求出S_△BAG=S_△CAG，进而得出S_△BGQ=S_△CGQ，求出即可．

解答：证明：∵△BDE与△CED有共同的底DE，且DE∥BC，
∴S_△BDE=S_△CED，
∴S_△BDE-S_△GDE=S_△CED-S_△GDE，
∴S_△BDG=S_△CEG①，
∵DE∥BC，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，
而

S△ADG

S△BDG

=

AD

DB

，

S△AEG

S△CGE

=

AE

EC

，
∴

S△ADG

S△BDG

=

S△AEG

S△CGE

②，
由①与②得：S_△ADG=S_△AED③，
由①+③得：S_△BAG=S_△CAG④，
过C、B作直线AQ的垂线，K、H为垂足（如图），
则S_△BAG=

1

2

×AG×BH，S_△BAG=

1

2

×AG×CK，代入④得：BH=CK，
故

1

2

GQ×BH=

1

2

GQ×KC，即S_△BGQ=S_△CGQ，
而△BGQ与△CGQ有公共顶点G，底BQ与CQ在同一直线上，
故BQ=QC．

点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形面积求法，得出S_△BAG=S_△CAG是解题关键．