Question

11．已知m、n、p、q为实数，为了使二次方程x²+mx+n=0与x²+px+q=0都有实根，井且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开来，问：系数m、n、p、q应满足什么条件？

Answer 1

分析 把问题转化为二次函数来解决：二次方程x²+mx+n=0与x²+px+q=0都有实根说明△＞0，且其中任一方程的两根被另一方程的根分隔开来说明以y=x²+mx+n与y=x²+px+q两个函数有一个交点，由此联立方程组求得答案即可．

解答 解：如图，利用二次函数图象来解决，

由题意可知：①两个函数都与x轴有两个交点；
因此m²-4n＞0，p²-4q＞0；
②两个函数图象的交点在x轴的下方．
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+mx+n}\\{y={x}^{2}+px+q}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{q-n}{m-p}$，y=$\frac{（q-n）^{2}}{（m-p）^{2}}$+m$\frac{q-n}{m-p}$+n，
当y＜0时，即$\frac{（q-n）^{2}}{（m-p）^{2}}$+m$\frac{q-n}{m-p}$+n＜0，
也就是（q-n）²+m（q-n）（m-p）-n（m-p）²＜0．
综上所述，系数m、n、p、q应满足的条件是：
①m²-4n＞0，p²-4q＞0；②（q-n）²+m（q-n）（m-p）-n（m-p）²＜0．

点评 此题考查根的判别式与一元二次方程根的情况，此题需要把方程转化为二次函数，利用二次函数与x轴的交点问题与函数的交点问题来解决．