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17.如图,平行四边形ABCD中.AC=$\sqrt{2}$AB,求证:∠ABD=∠DAC.

分析 根据AC=$\sqrt{2}$AB证明$\frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AC}$,从而可证得△AOB∽△ABC,得对应角相等,同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论.

解答 证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,AD∥BC,
∵AC=$\sqrt{2}$AB,
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB,
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AB}{\sqrt{2}AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AB}{AC}$,
∵∠CAB=∠CAB,
∴△AOB∽△ABC,
∴∠ABD=∠ACB,
∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,
∴∠ABD=∠DAC.

点评 本题考查了平行四边形的性质,熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系;在证明两角相等时,除了运用平行线、全等三角形外,还可以证明两三角形相似,得对应角相等.

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