Question

20．如图，平面直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点N从点A出发，沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动，当点C到达D点时，两点同时停止运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接NP．设点P的运动时间为t秒．
①是否存在△NPH的面积为4，如果存在，请说明理由．
②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x与y等于0，即可求出点A与点B的坐标，由四边形AOCD为矩形，可知：CD∥x轴，进而可知：D、C、E三点的纵坐标相同，由点C为OB的中点，可求点C的坐标，然后将点C的纵坐标代入直线y=$\frac{4}{3}$x+8即可求直线AB与CD交点E的坐标；
（2）①分两种情况讨论，第一种情况：当0＜t＜2时；第二种情况：当2＜t≤6时；
②由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而可得：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+2，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，然后求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴令x=0得：y=8，
令y=0得：x=-6，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∵点C为OB的中点，
∴OC=4，
∴C（0，4），
∵四边形AOCD为矩形，
∴OA=CD=6，OC=AD=4，CD∥OA（x轴），
∴D、C、E三点的纵坐标相同，
∴点E的纵坐标为4，将y=4代入直线y=$\frac{4}{3}$x+8得：x=-3，
∴E（-3，4）；
（2）①分两种情况讨论：
第一种情况当0＜t＜2时，如图1，

根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=2t，HO=CP=t，PH=OC=4，
∴NH=6-3t，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$×4×（6-3t）=4，
解得：t=$\frac{4}{3}$；
第二种情况：当2＜t≤6时，如图2，

根据题意可知：经过t秒，CP=t，AN=2t，HO=CP=t，PH=OC=4，
∴AH=6-t，
∴HN=AN-AH=3t-6，
∵S_△NPH=$\frac{1}{2}$PH•NH，且△NPH的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$×4×（3t-6）=4，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
∴当t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时，存在△NPH的面积为4；
②BP+PH+HQ有最小值，
连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图3，

∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-12k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直线CQ的关系式为：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-4，4）．

点评 此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，一次函数与x轴、y轴交点的求法，及利用线段公理求最值问题等，解（2）中①题的关键是：分两种情况进行讨论，解（2）中②题的关键是：利用两点之间线段最短，解决最值问题．