Question

11．在一张长为8cm、宽为7cm的长方形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点都在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积是12.5或$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$或10cm²．

Answer 1

分析 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解即可；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解即可．

解答 解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=5厘米时，

∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$×5×5=12.5厘米²，
（2）当AE=EF=5厘米时，如图

BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$厘米，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•BF=$\frac{1}{2}$×5×$\sqrt{21}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$厘米²，
（3）当AE=EF=5厘米时，如图

DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=4厘米，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•DF=$\frac{1}{2}$×5×4=10厘米²，
故答案为：12.5或$\frac{5}{2}$$\sqrt{21}$或10．

点评 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论是解题的关键也是此题的难点．