Question

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+b与双曲线y=$\frac{6}{x}$的一个交点为A（m，1）．
（1）求m和b的值；
（2）过，B（1，3）的直线交l₁于点D，交y轴于点E．若BD=2BE，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入双曲线解析式中求出m的值，再将点A的坐标代入直线l₁中即可求出b的值；
（2）由（1）可知直线l₁的解析式，设出点E的坐标为（0，c），直线BE的解析式为y=kx+c，联立直线l₁和直线BE的解析式成方程组，解方程组求出点D的坐标，再根据BD=2BE以及点B在直线BE的图象上得出关于k、c的方程组，解方程组求出k、c的值，将其代入点D的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（m，1）在双曲线y=$\frac{6}{x}$的图象上，
∴1=$\frac{6}{m}$，解得：m=6，
∴点A的坐标为（6，1）．
又∵点A（6，1）在直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+b的图象上，
∴1=$\frac{1}{2}$×6+b，解得：b=-2．
（2）依照题意画出图象，如图所示．

∵b=-2，
∴直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x-2．
设点E的坐标为（0，c），直线BE的解析式为y=kx+c，
联立直线BE和l₁得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+c}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}}\\{y=-\frac{c+4k}{2k-1}}\end{array}\right.$．
∴点D的坐标为（-$\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}$，-$\frac{c+4k}{2k-1}$）．
又∵BD=2BE，且点B（1，3）在直线y=kx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|-\frac{2+c}{k-\frac{1}{2}}-1|=2×（1-0）}\\{3=k+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{4}}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{7}{4}}\\{c=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
故点D的坐标为（-1，-$\frac{5}{2}$）或（3，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及解分式方程组，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）结合已知得出方程组．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，结合点在直线上以及线段间的数量关系得出方程组是关键．