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1.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个顶点在y轴上“同簇二次函数”;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+4,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值;
(3)二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+4的图象与y轴分别交于点A、B两点,在抛物线y1上取一点C,抛物线y2上取一点D,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点C的坐标.

分析 (1)依据“同簇二次函数”定义,随便写两个即可;
(2)由y1的图象经过点A(1,1),找出m的值,再由y1+y2与y1为“同簇二次函数”,找出a、b的值即可,再将函数y2的表达式变为顶点式,即能找到何时取最大值;
(3)分两种情况考虑:①线段AB为对角线,找到AB中点坐标,利用平行四边形对角线互相平分的性质,设出C点坐标,即可以得出D点坐标,将D点坐标代入函数y2的表达式中,即可求得出结论;②线段AB为一条边,此时还分两种情况,一种点C在D的上方,一种点C在D的下方,由平行四边形对比平行且相等即可求出结论.

解答 解:(1)根据“同簇二次函数”的定义可知,
y=x2+2与y=3x2+2是“同簇二次函数”.
(2)∵点A(1,1)在二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1的图象上,
∴有1=2-4m+2m2+1,解得m=1.
∴y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
即二次函数y1=2x2-4x+3开口向上,顶点坐标为(1,1).
y1+y2=(2+a)x2+(b-4)x+7=(2+a)${(x+\frac{b-4}{4+2a})}^{2}$+7-$\frac{(b-4)^{2}}{4(2+a)}$.
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2+a>0}\\{-\frac{b-4}{4+2a}=1}\\{7-\frac{(b-4)^{2}}{4(2+a)}=1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-8}\end{array}\right.$.
∴y2=4x2-8x+4.
∵y2=4x2-8x+4=4(x-1)2
∵在0≤x≤3中,当x=3时,y2=4(3-1)2=16,
∴当x=3时,y2有最大值,最大值等于16.
(3)以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:
①以AB为对角线,令四边形对角线的交点为M,如图1.

∵二次函数y1=2x2-4x+3和y2=4x2+8x+4的图象与y轴分别交于点A、B两点,
∴点A(0,3),点B(0,4).
设C点坐标为(m,2m2-4m+3),
∵四边形ADBC为平行四边形,
∴对角线互相平分,
∴点M(0,$\frac{7}{2}$),点D(-m,4-2m2+4m).
又∵点D在二次函数y2=4x2-8x+4图象上,
∴有4-2m2+4m=4m2+8m+4,即6m2+4m=0,
解得:m=-$\frac{2}{3}$或m=0(舍去).
此时C点坐标为(-$\frac{2}{3}$,$\frac{59}{9}$);
②当AB为边的时候,如图2.

当C在点D的下方时,设C点坐标为(m,2m2-4m+3),则D点坐标为(m,2m2-4m+4).
又∵点D在二次函数y2=4x2-8x+4图象上,
∴有2m2-4m+4=4m2-8m+4,即2m2-4m=0,
解得:m=2,或m=0(舍去).
此时C点坐标为(2,3);
当C在点D的上方时,设C点坐标为(m,2m2-4m+3),则D点坐标为(m,2m2-4m+2).
又∵点D在二次函数y2=4x2-8x+4图象上,
∴有2m2-4m+2=4m2-8m+4,即2m2-4m+2=0,
解得:m=1.
此时C点的坐标为(1,1).
综上得:若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则C点的坐标为(-$\frac{2}{3}$,$\frac{59}{9}$),(2,3)和(1,1).

点评 本题考查了二次函数综合运用,解题的关键是:(1)读懂题意,弄明白什么是“同簇二次函数”;(2)写出y1+y2与y1的顶点式;(3)设出C点坐标(m,2m2-4m+3),分两种情况考虑,找出关于m的二元一次方程,解方程即可.

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