Question

抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在（1）中的抛物线上，且x₁＜x₂，PQ=n．
①求的值；
②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是______．

Answer 1

解：（1）解法一：∵抛物线y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）与y轴交于点C，
∴C（0，-3），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，
∴B（3，0）或B（-3，0），
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0），
∴0=9m+3（m-3）-3，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
解法二：令y=0，∴mx²+（m-3）x-3=0．∴（x+1）（mx-3）=0．
∴x=-1，x=，
∵m＞0，点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（），
令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵OB=OC，
∴，
∴m=1，
∴y=x²-2x-3．
（2）①由抛物线y=x²-2x-3可知对称轴为x=1，
∵点P（x₁，b）与点Q（x₂，b）在这条抛物线上，且x₁＜x₂，PQ=n，
∴x₁=1-，x₂=1+，
∴2x₁=2-n，2x₂=2+n，
∴原式=（2-n）²-（2+n）n+6n+3=7．
②
结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：-4＜b＜-2或b=0．
分析：（1）先确定点C的坐标，根据OB=OC，A在点B的左侧，可得出点B的坐标，将点B坐标代入可得出抛物线解析式；也可采取解法二；
（2）①由抛物线y=x²-2x-3可知对称轴为x=1，因为点P与点Q纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出x₁，x₂的表达式，变形后代入即可得出答案．
②画出图形，结合图形可直接得出b的范围．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、代数式求值及根与系数的关系，综合考察的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握各个知识点，并将所学知识融会贯通．