Question

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，抛物线y=ax²-ax-a经过点B（2，$\sqrt{3}$），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠OAC=∠FCB，由此可证出△OAC∽△FCB，根据相似三角形的性质可得出比例关系$\frac{FB}{OC}=\frac{FC}{OA}$，从而求出点C的坐标，再根据∠ACB=90°以及点B的坐标找出点B关于直线AC的对称点的坐标，验证其是否在抛物线图象上即可得出结论；
（3）延长BC交y轴于点D，根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立两函数解析式成方程组，即可求出点E的坐标，由点C为线段BD的中点，来验证点A是否为线段BE的中点，若是则ED∥AC，若不是则二者不平行．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-ax-a经过点B（2，$\sqrt{3}$），
∴$\sqrt{3}$=4a-2a-a，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴该抛物线的表达式为y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．
（2）过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．

∵∠ACB=90°，AO⊥x轴，BF⊥x轴，
∴∠AOC=∠CFB=90°，∠OAC+∠OCA=90°=∠OCA+∠FCB，
∴∠OAC=∠FCB，
∴△OAC∽△FCB．
∴$\frac{FB}{OC}=\frac{FC}{OA}$．
设OC=b，则CF=2-b，BF=$\sqrt{3}$，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴有b²-2b+1=0，
解得：b=1．
∴点C的坐标为（1，0）．
又∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴点B关于直线AC的对称点的坐标为（1×2-2，0×2-$\sqrt{3}$），即（0，-$\sqrt{3}$）．
令抛物线y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$中x=0，则y=-$\sqrt{3}$，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．
（3）由（2）可知点B、D关于直线AC对称，且点C为线段BD的中点．
延长BC交y轴于点D，如图2所示．

设直线AB的解析式为y=kx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{3}$=2k+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
联立直线AB与抛物线解析式得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}{x}^{2}-\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{9}$）．
线段BE的中点坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{3}}{9}$），此点不同于点A，
∴ED不平行于AC．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解二元二次方程组以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点C的坐标；（3）求出点E的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．