Question

4．已知等边△ABC，点M在AC边上，点N在CB的延长线上，且AM=BN，MC=nAM，MN交AB于P．
（1）当n=1时，求$\frac{PM}{PN}$和$\frac{PA}{PB}$的值；
（2）当n=2时，求证：AP=2PB；
（3）当n=$\frac{1}{2}$时，AP=5PB．

Answer 1

分析 作MD∥BC，交AB于D，易证△DMP≌△BNP；
（1）根据△DMP≌△BNP即可求得$\frac{PM}{PN}$和$\frac{AP}{BP}$的值；
（2）取n=2，即可求得$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，即可解题；
（3）当PA=5PB时，可求得$\frac{AM}{CM}$=$\frac{AD}{BD}$=2，即可解题．

解答 解：如图1，作MD∥BC，交AB于D，
则AM=DM=AD，
∴△ADM∽△ABC，
又∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△DMP和△BNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠BPN}\\{DM=BN}\\{∠MDP=∠NBP}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△BNP（ASA），
∴PM=PN，PD=PB，
∴$\frac{PM}{PN}$=1，
（1）当n=1时（即点M是AC中点），AM=DM=BN，
∴PB=$\frac{1}{2}$BD，
又∵AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{BP}$=4，
∴$\frac{AP}{BP}$=3，
（2）当n=2时，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{BP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BP}{AP}$=$\frac{1}{2}$，
即AP=2PB； 
（3）当PA=5PB时，$\frac{PB}{AB}$=$\frac{1}{6}$，$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AD}{BD}$=2，
∴n=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．