Question

8．如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．
（1）求证：BC∥GF；
（2）如果tanA=$\frac{4}{3}$，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质，可得OD⊥BC，利用平行线的性质可证得∠C=90°，由AF为直径，可得∠AGF=90°，进而可得BC∥GF；
（2）先证明四边形CGED为矩形，再根据锐角三角函数、勾股定理求GF，OE，DE的长，进而可求四边形CGED的面积．

解答 证明：（1）∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC，
∵AC∥OD，
∴∠C=∠ODB=90°，
∵AF为⊙O直径，
∴∠AGF=90°=∠C，
∴BC∥GF．
解：（2）∵AC∥OD，BC∥GF
∴四边形CGED为平行四边形，
∵∠C=90°，
∴四边形CGED为矩形，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，
∵AF=2AO=2a，OF=a，
∴GF=AF•sinA=2a×$\frac{4}{5}$=$\frac{8a}{5}$，
∵OD⊥BC，
∴GE=EF=$\frac{1}{2}GF$=$\frac{4a}{5}$，
在Rt△OEF中，OE=$\sqrt{O{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{4a}{5}）^{2}}$=$\frac{3a}{5}$，
∴DE=OD-OE=a-$\frac{3a}{5}$=$\frac{2a}{5}$，
∴S_{四边形CGED}=GE•DE=$\frac{4a}{5}$×$\frac{2a}{5}$=$\frac{8{a}^{2}}{25}$．

点评 本题主要考查切线的性质，解决此类题目时，要灵活运用切线的性质和平行线的性质与判定．