Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a-b=0；②c=-3a；③当m≠1时，a+b＜am²+bm；④若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx²，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．
其中正确的结论是②③④．（只填序号）

Answer 1

分析 ①根据对称轴，可得答案；
②根据A点坐标，可得答案；
③根据顶点是函数的最值，可得答案；
④根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；
⑤分类讨论：AB=BC=4时，当AB=AC=4时，根据A点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；AC=BC，根据勾股定理你，可得答案．

解答 解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，
∴AB=4，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
即2a+b=0．
故①错误；
②∵A点坐标为（-1，0），
∴a-b+c=0，而b=-2a，
∴a+2a+c=0，即c=-3a．
故②正确；
③由a＞0，顶点是函数的最小值，m≠1时，得
a+b+c＜am²+bm+c，两边都减c，得
a+b＜am²+bm，
故③正确；
④ax₁²+bx₁=ax₂²+bx²，得
ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c，
且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2，故④正确；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
当AB=BC=4时，
∵AO=1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-$\sqrt{7}$，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-\sqrt{7}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{\sqrt{7}}{3}$；
同理当AB=AC=4时，
∵AO=1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=-$\sqrt{15}$，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-\sqrt{15}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
同理当AC=BC时
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件，故⑤错误，
故答案为：②③④．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏．