Question

如图，已知AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，交OD于点E．
（1）求证：∠DCE=∠DEC；
（2）若AB=17，AC=15，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接OC，由CD是⊙O的切线，切点为C，可得OC⊥CD，又由DO⊥AB，根据等角的余角相等，可证得：∠DCE=∠DEC；
（2）易证得△AEO∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥CD，
即∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA，
∵OD⊥AB，
∴∠DEC=∠AEO=90°-∠A，
∵∠DCE=90°-∠OCA，
∴∠DCE=∠DEC；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=17，
∴OB=

17

2

，
∵∠AOE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AEO∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AO

AC

，
∴

AE

17

=

17 2

15

，
∴AE=

289

30

，
∴CE=AC-AE=15-

289

30

=

161

30

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．