Question

已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点M，对称轴与BC相交于点N，与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）连接ON，AC，证明：∠NOB=∠ACB；
（3）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为时，求点E的坐标；
（4）在满足（3）的条件下，连接EN，并延长EN交y轴于点F，E、F两点关于直线BC对称吗？请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线为y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，顶点M（，）．
证明见解析
（3）E（1，2），
（4）对称；理由见解析

试题分析：（1）由待定系数法可求得解析式，然后转化成顶点式即可得顶点坐标．
有两组对应边对应成比例且夹角相等即可知△ABC∽△NBO，由三角形相似的性质即可求得．
作EF⊥BC于F，根据抛物线的解析式先设出E点的坐标，然后根据两直线垂直的性质求得F点的坐标，根据勾股定理即可求得．
（4）延长EF交y轴于Q，根据勾股定理求得FQ的长，再与EF比较即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，
解得．
∴抛物线为y=﹣x²+x+2；
∴抛物线为y=﹣x²+x+2=﹣（x﹣）²+，
∴顶点M（，）．
如图1，

∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），
∴直线BC为：y=﹣x+2，
当x=时，y=，
∴N（，），
∴AB=3，BC=2，OB=2，BN=，
∴，，
∵∠ABC=∠NBO，
∴△ABC∽△NBO，
∴∠NOB=∠ACB；
（3）如图2，作EF⊥BC于F，
∵直线BC为y=﹣x+2，
∴设E（m，﹣m²+m+2），直线EF的解析式为y=x+b，
则直线EF为y=x+（﹣m²+2），
解 得，
∴F（m²，﹣m²+2），
∵EF=，
∴（m﹣m²）²+（﹣m²+2+m²﹣m﹣2）²=（）²，
解得m=1，
∴﹣m²+m+2=2，
∴E（1，2），

（4）如图2，延长EF交y轴于Q，
∵m=1，
∴直线EF为y=x+1，
∴Q（0，1），
∵F（，），
∴FQ=，
∵EF=，EF⊥BC，
∴E、F两点关于直线BC对称．