Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．
（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证：AE²=AC•EC．

Answer 1

分析：（1）由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解．
（2）先由（1）的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明．

解答：证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．（1分）
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．（2分）
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．（3分）

（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．（4分）
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．（6分）
∴

AC

BC

=

BC

EC

，
即BC²=AC•EC．（7分）
故AE²=AC•EC．（8分）

点评：本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定以及等腰三角形的性质．关键是证明BC=BE=AE．