Question

【题目】把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔开,如：{2，3}，{4，5，6}，…，我们称之为集合，其中每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2019x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合，例如{0，2019}就是一个黄金集合，

(1)集合{2019}_____黄金集合，集合{1，2020}_____黄金集合.(填“是”或“不是”)

(2)若一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合是否存在最小的元素?如果存在，请求出这个最小元素，否则说明理由；

(3)若一个黄金集合中所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，则该黄金集合中共有多少个元素?请说明你的理由.

Answer 1

【答案】(1)不是，是；(2)最小的元素是2000；(3)共有16个元素.

【解析】

（1）根据定义有理数2019是集合的元素时，2019-2019=0也必是这个集合的元素，而0不在集合内，当20192020=1时可知，-1在集合内，则问题可解；
（2）根据定义，集合中较小的数为2019-4019=-2000；
（3）根据题意可知黄金集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2019，然后通过估算即可解答本题．

解：(1)根据题意可得,20192019=0,而集合{2019}中没有元素0,故{2019}不是黄金集合；

∵20192020=1，

∴集合{1,2020}是黄金集合。

故答案为：不是，是

(2)一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是2000.

∵2019a中a的值越大，则2019a的值越小，

∴一个黄金集合中最大的一个元素为4019，则最小的元素为：20194019=2000.

(3)该集合共有16个元素。

理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2019a，

∴黄金集合中的元素一定是偶数个.

∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2019a=2019，2019×8=16152，2019×9=18171，

又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且16150<M<16155，

∴这个黄金集合中的元素个数为：8×2=16(个).