Question

如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．下列结论：①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S_△CDG=S_{四边形DHGE}；④图中有8个等腰三角形．其中正确的共有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG=∠BDC=45°，求出∠BGC=∠GBC，得到BC=CG=CD，
求出∠CDG=∠DHG，即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△DFG，△CDG．

解答：解：∵正方形ABCD，DE=AD，
∴AD∥BC，DE=BC，∠EDC=90°，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD=CE，BD∥CE，
∵DE=BC=AD，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
要使CE=2DG，只要G为CE的中点即可，
但DE=DC，DF=BD，
∴EF≠BC，
即△EFG和△BCG不全等，
∴G不是CE中点，∴①错误；
∵∠ADB=45°，DF=BD，
∴∠F=∠DBH=

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∠ADB=22.5°，
∴∠DHG=180°-90°-22.5°=67.5°，
∵BD∥CE，
∴∠DCG=∠BDC=45°，
∵∠DHG=67.5°，
∴∠HGC=22.5°，∠DEC=45°，
∵∠BGC=180°-22.5°-135°=22.5°=∠GBC，
∴BC=CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=

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（180°-45°）=67.5°=∠DHG，∴②正确；
因为CG=DE=CD，∠DCE=∠DEC=45，∠HGC=22.5°，∠DGE=90-∠CDG=90-67.5=22.5°，
∴△DEG≌△CHG，
要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG，
∴③S_△CDG=S_{四边形DHGE}；正确，
等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF∴④错误；
故选B．

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．