【题目】从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形,另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等,则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
例如,等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”.
(1)如图1,在△ABC中,D是边BC上一点,若∠B=30°,∠BAD=∠C=40°,求证: AD为△ABC的“等角分割线”;
(2)如图2,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°;
①画出△ABC的“等角分割线”,写出画法并说明理由;
②若BC=3,求出①中画出的“等角分割线”的长度.
(3)在△ABC中,∠A=24°,若△ABC存在“等角分割线”CD,直接写出所有符合要求的∠B的度数.
【答案】(1)见解析(2)①见解析②2(3)44°, 52°, 54°, 108°
【解析】
⑴根据题目中的已知角的度数可以得到∠BAD=∠C=40°,∠ADB=∠BAC=110°
又∠B=∠B,得出△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等;根据三角形的外角求出∠ADC=70°,∠BAD+∠CAD=110°得到∠CAD=70°得出△ADC是等腰三角形,所以AD为△ABC的“等角分割线”.
⑵①依据“等角分割线”定义画出即可,②AD平分∠BAC, ∠ACD=30°,设CD=x,则AD=BD=2x,BC=BD+CD=2x+x=3,即可求出AD=2x=2
⑶分△ACD是等腰三角形DA=DC,DA=AC和△BCD是等腰三角形DB=BC,DC=BD四种情况,根据内角和定理及三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可.
(1)证明:∵∠B=30°,∠BAD=∠C=40°
∴∠ADB=∠BAC=110°
又∠B=∠B,
∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等,
∵∠B=30°,∠BAD=40°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°
又∵∠C=40°
∴∠DAC=70°=∠ADC
∴AC=CD
∴△ADC是等腰三角形,
∴AD为△ABC的“等角分割线”
(2)①画法:如图2,画∠BAC的角平分线,交BC于点D,线段AD即为所求,
理由如下:
∵∠C=90°,∠B=30°
∴∠BAC=60°
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC =∠BAD =30°=∠B
∴∠ADC=60°=∠BAC
又∵∠C=∠C=90°
∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等,
∵∠BAD=∠B
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形,
∴AD为△ABC△ABC的“等角分割线”
②设CD=x
∵△ADC中,∠C=90°,∠DAC=30°,
∴AD=2x,
∴BD=AD=2x
∵BC=3
∴x+2x=3
∴x=1
∴AD=2x=2;
(3) ①当△BCD为等腰三角形,DB=BC时,如下图
∵DB=BC,△ABC∽△ACD
∴ ∠2=∠3,∠1=∠B
∵∠2=∠A+∠1,∠2+∠3+∠B=180°
∴ 2(∠A+∠1)+∠B=180°
∴ 2(24°+∠B)+∠B=180°
∴ ∠B=44°
②当△BCD是等腰三角形,DB=DC时,如下图
∵DB=DC,△ABC∽△ACD
∴∠B=∠2,∠1=∠B
∵ ∠3=∠2+∠B,∠A+∠1+∠3=180°
∴ ∠A+∠1+∠3=24°+∠B+∠B+∠B=180°
∴ ∠B=52°
③当△ACD为等腰三角形,DA=CA时,如下图
∠2+∠3=180°-∠A=180°-24°=156°
∠2=∠3=78°
∵△ABC∽△CBD
∴∠A=∠4=24°
∵ ∠B+∠4=∠3
∴∠B=54°
当△ACD为等腰三角形,DA=DC时,如下图
∵ DA=DC
∴ ∠A=∠1=24°
∴ ∠2=∠A+∠1=48°
∵△ABC∽△CBD
∴ ∠B=∠2+∠3=∠2+∠A=108°
44°, 52°, 54°, 108°.
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【题目】如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A′处,且A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB,若∠BA′C=110°,则∠1+∠2=_____.
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【题目】一列动车从甲地开往乙地,一列普通列车从乙地开往甲地,两车同时出发,设普通列车行驶的时间为(小时),两车之间的距离为(千米),图中的折线表示与之间的函数关系。
根据图象回答下列问题:
(1)甲地与乙地相距______千米,两车出发后______小时相遇;
(2)普通列车到达终点共需_______小时,普通列车的速度是______千米/小时;
(3)动车的速度是________千米/小时;
(4)的值为________.
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【题目】矩形ABCD中,AB=3,AD=6,点E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,若点A的对应点A′恰落在矩形ABCD的对称轴上,则AE=_____.
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【题目】如图,从A地到B地的公路需要经过C地,根据规划,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.已知AC=10千米,∠CAB=34°,∠CBA=45°,求改直后公路AB的长(结果精确到0.1千米)
(参考数据:sin34°≈0.559,cos34°≈0.829,tan34°≈0.675)
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【题目】如图,是等边三角形,是中线,延长至点,使.
(1)求证:;
(2)尺规作图:过点作垂直于,垂足为;(保留作图留痕迹,不写作法)
(3)若,求的周长.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=100°,∠ABC=∠ACB,点D在直线BC上运动(不与点B、C重合),点E在射线AC上运动,且∠ADE=∠AED,设∠DAC=n.
(1)如图(1),当点D在边BC上时,且n=36°,则∠BAD= _________,∠CDE= _________.
(2)如图(2),当点D运动到点B的左侧时,其他条件不变,请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系,并说明理由.
(3)当点D运动到点C的右侧时,其他条件不变,∠BAD和∠CDE还满足(2)中的数量关系吗?请画出图形,并说明理由.
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【题目】如图,直线y=﹣x+b分别与x轴、y轴交于A,B两点,点A的坐标为(3,0),过点B的另一条直线交x轴负半轴于点C,且OB:OC=3:1.
(1)求点B的坐标及直线BC对应的函数表达式;
(2)在线段OB上存在点P,使得点P到点B,C的距离相等,试求出点P的坐标;
(3)如果在x轴上方存在点D,使得以点A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等,请直接写出点D的坐标.
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