Question

7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB²=ED•EA经过B、C两点的圆弧交AE于I．
（1）求证：△ABE∽△BDE；
（2）如果BI平分∠ABC，求证：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AE}{EI}$
（3）设O的半径为5，BC=8，∠BDE=45°，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，∠BAE=∠DBE，由角平分线的性质得到∠ABI=∠DBI，根据等式的性质得到∠EBI=∠EIB，根据等腰三角形的判定定理得到BE=EI，等量代换即可得到结论；
（3）如图2，易证过点I的$\widehat{BC}$的半径为BE，根据勾股定理可以求出BE、DE的长，再根据BE²=AE•DE就可求出AD的长．

解答 （1）证明：∵EB²=ED•EA，
∴$\frac{EB}{EA}=\frac{DE}{EB}$，
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△BDE；

（2）证明：∵△ABE∽△BDE，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，∠BAE=∠DBE，
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI，
∵∠EBI=∠EBD+∠DBI，∠BIE=∠BAD+∠ABI，
∴∠EBI=∠EIB，
∴BE=EI，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{AE}{EI}$；

（3）解：连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图，
∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵∠BOE=2∠BAE，∠COE=2∠CAE，
∴∠BOE=∠COE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴EB=EC，
∴EB=EC=EI，
∴点E是过点I的$\widehat{BC}$的圆心，EB是过点I的$\widehat{BC}$的半径，
∵OB=OC，∠BOE=∠COE，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△OFC中，
∵OC=5，FC=4，
∴OF=3，
∴EF=OE-OF=5-3=2，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-45°=45°=∠FDE，
∴DF=EF=2，
∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2$\sqrt{2}$，
∵AE•DE=BE²，
∴（AD+2$\sqrt{2}$）×2$\sqrt{2}$=（2$\sqrt{5}$）²，
∴AD=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了弧与圆心角及弦的关系、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．