Question

某相宜本草护肤品专柜计划在春节前夕促销甲、乙两款护肤品，根据市场调研，发现如下两种信息：
信息一：销售甲款护肤品所获利润y（元）与销售量x（件）之间存在二次函数关系y=ax²+bx．在x=10时，y=140；当x=30时，y=360．
信息二：销售乙款护肤品所获利润y（元）与销售量x（件）之间存在正比例函数关系y=3x．请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求信息一中二次函数的表达式；
（2）该相宜本草护肤品专柜计划在春节前夕促销甲、乙两款护肤品共100件，请设计一个营销方案，使销售甲、乙两款护肤品获得的利润之和最大，并求出最大利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设购进甲产品m件，购进乙产品（10-m）件，销售甲、乙两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）∵当x=10时，y=140；当x=30时，y=360，
∴

100a+10b=140 900a+30b=360

，
解得：

a=-0.1 b=15

，
所以，二次函数解析式为y=-0.1x²+15x；

（2）设购进甲产品m件，购进乙产品（100-m）件，销售甲、乙两种产品获得的利润之和为W元，
则W=-0.1m²+15m+3（100-m）=-0.1m²+12m+300=-0.1（m-60）²+660，
∵-0.1＜0，
∴当m=60时，W有最大值660元，
∴购进甲产品60件，购进一产品40件，销售甲、乙两种产品获得的利润之和最大，最大利润是660元．

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，（2）整理得到所获利润与购进甲产品的吨数的关系式是解题的关键．