Question

已知关于x的一元二次方程5x²－2px＋5q＝0（p≠0）有两个相等的实数根．

求证：(1)方程x²＋px＋q＝0有两个不相等的实数根；

(2)设方程x²＋px＋q＝0的两个实数根是x₁，x₂，若｜x₁｜＜｜x₂｜，则＝．

 

Answer 1

答案：
解析：

∵方程5x2－2px＋5q＝0有两个相等实根， Δ1＝（－2p）2－4×5×5q＝0， 整理，得q＝p2． (1)方程x2＋px＋q＝0的判别式 Δ2＝p2－4q＝p2－p2＝p2， ∵p≠0，∴Δ2＞0．∴方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根． (2)证法一：解方程x2＋px＋q＝0，得 x＝（不妨设p>0）． ∵｜x1｜＜｜x2｜，∴x1＝－p，x2＝－p， ∴． 证法二：∵x1＋x2＝－p，x1x2＝q， 由(1)知q＝p2，∴x1x2＝（x1＋x2）2， 即6x12－13x1x2＋6x22＝0． ∵p≠0，∴q≠0，∴x2≠0． ∴6（）2－13（）＋6＝0． 解得 ＝或＝． ∵｜x1｜＜｜x2｜，∴｜｜＜1  ∴＝．