Question

（2013•湖北）如图，已知抛物线y=ax²+bx-4经过A（-8，0），B（2，0）两点，直线x=-4交x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点E在直线x=-4上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是d₁，d₂，d₃，问是否存在直线l，使d₁=d₂=

d3

2

？若存在，请直接写出d₃的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：
①以AO为一边的平行四边形，有2个；
②以AO为对角线的平行四边形，有1个，此时点P和点E必关于点C成中心对称．
（3）存在4条符合条件的直线，分别如答图2、答图3所示．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4经过A（-8，0），B（2，0）两点，
∴

64a-8b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 4 b= 3 2 .

∴y=

1

4

x2+

3

2

x-4； 

（2）∵点P在抛物线上，点E在直线x=-4上，
设点P的坐标为（m，

1

4

m2+

3

2

m-4)，点E的坐标为（-4，n）．

如图1，∵点A（-8，0），
∴AO=8．
①当AO为一边时，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=-12，m₂=4．
∴P₁（-12，14），P₂（4，6）（5分）
②当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故CE=CP．
∴

m=-4 1 4 m2+ 3 2 m-4=-n

，
解得：

m=-4 n=6

，
∴P₃ （-4，-6）．
∴当P₁（-12，14），P₂（4，6），P₃ （-4，-6）时，A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形．

（3）存在．
如图2所示，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H．

由题意得C（-4，0），B（2，0），D（-4，-6），
∴OC=4，OB=2，CD=6，∴△CDB为等腰直角三角形．
∴CH=CD•sin45°=6×

2

2

=3

2

．
∵BD=2CH，∴BD=6

2

．
①∵CO：OB=2：1，∴过点O且平行于BD的直线l₁满足条件．
作BE⊥直线l₁于点E，DF⊥直线l₁于点F，设CH交直线l₁于点G．
∴BE=DF，即：d₁=d₂．
则

CG

BE

=

CO

BO

=

2

1

，

CG

GH

=

2

1

，即

d3

d1

=

2

1

，∴d₃=2d₁，∴d₁=d₂=

d3

2

．
∴CG=

2

3

CH，即d₃=

2

3

×3

2

=2

2

；
②如图2，在△CDB外作直线l₂∥DB，延长CH交l₂于点G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=6

2

；
③如图3，过H，O作直线l₃，作BE⊥l₃于点E，DF⊥l₃于点F，CG⊥l₃于点G．

由①可知，DH=BH，则BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴d₁=d₂=

d3

2

．
作HI⊥x轴于点I，
∴HI=CI=

1

2

CB=3，∴OI=4-3=1，
∴OH=

HI2+OI2

=

32+12

=

10

．
∵△OCH的面积=

1

2

×4×3=

1

2

10

×d₃，∴d₃=

6 10

5

；
④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线l₄，易证：
d₁=d₂=

d3

2

，d₃=

6 10

5

．
综上所述，存在直线l，使d₁=d₂=

d3

2

．d₃的值为：2

2

，6

2

，

6

5

10

．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识点，难度较大．第（2）问考查平行四边形的判定及分类讨论的数学思想，第（3）问是存在型问题，存在4条符合条件的直线，需要分类讨论，避免漏解．