Question

14．如图，正比例函数y₁=k₁x与一次函数y₂=k₂x+b的图象相交于A（3，4），直线y₂=k₂x+b与y轴相交于点B，OB=OA．
（1）求一次函数y₂=k₂x+b的解析式．；
（2）求点O到AB的距离．
（3）在直线OA上是否存在一点P，使得S_△ABP=2S_△AOB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）设点O到AB的距离为h．利用面积法得到S_△ABO=$\frac{1}{2}$•5•3=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{10}$•h，解方程即可．
（3）存在．当AP=2OA时，S_△ABP=2S_△AOB，分两种情形讨论即可①当P₁与A在O两侧时，②当P₂与A在O同侧时，分别求解即可．

解答 解：（1）∵A（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵OB=OA，'∴B（0，-5），
把A、B两点坐标代入y₂=k₂x+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3{k}_{2}+b=4}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函数y₂=k₂x+b的解析式为y₂=3x-5．

（2）设点O到AB的距离为h．
∵AB=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$•5•3=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{10}$•h，
∴h=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（3）存在．

当AP=2OA时，S_△ABP=2S_△AOB，
①当P₁与A在O两侧时，
∵A（3，4），AP=2OA，
∴OA=OP₁
∴点P坐标为（-3，-4）．
②当P₂与A在O同侧时，作AN⊥x轴于N，P₂M⊥x轴于M．
∵AN∥P₂M，
∴$\frac{OA}{O{P}_{2}}$=$\frac{AN}{{P}_{2}M}$=$\frac{ON}{OM}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{{P}_{2}M}$=$\frac{3}{OM}$，
∴P₂M=12，OM=9，
∴P₂（12，9），
综上所述，满足条件的点P坐标为（-3，-4）或（12，9）．

点评 本题考查一次函数综合题、两点间距离公式、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．