Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：

（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；

（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；

（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．

Answer 1

【答案】（1）S△DPQ＝30（cm2）；（2）△DPQ为直角三角形；（3）运动开始后第6﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．

【解析】

（1）根据运动时间求出AP，BQ，利用分割法求△DPQ的面积即可．

（2）分别求出DP2，PQ2，DQ2，进而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；

（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，构建方程方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．

解：（1）经过1秒时，AP＝1，BQ＝2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，

∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），

∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．

（2）当t＝秒时，

AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，

∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，

在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，

在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，

∴DQ2+QP2＝117+＝，

∴DQ2+QP2＝DP2，

∴△DPQ为直角三角形；

（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP＝QD，

∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，

QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：x2+36x﹣144＝0，

解得：x＝﹣18±6，

∵0＜6﹣18＜6，

∴运动开始后第6﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．