Question

如图所示，在平面直角坐标系中有?OCDE和一直角三角形OMN，∠OMN=90°，点C，点M分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，点E、D在第一象限，点N在第三象限，OC=6，OE=4，∠EOC=60°，N（-2

3

，-2），M（0，2）
（1）将△OMN绕O点顺时针旋转90°，请你在图中画出旋转后的图形（其中M与A对应，N与B对应）；
（2）求过O、C、D三点的抛物线；
（3）将△OAB向右沿x轴平移，求△OAB与?OCDE重合部分的面积y与平移的距离m之间的函数关系式（其中0＜m＜8）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）如图1，根据旋转的性质作出图形；
（2）如图1，过点E作EP⊥OC于P．利用平行四边形的性质易求点C、D的坐标，设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），把点C，D的坐标代入来求a、b的值；
（3）由（2）可得tan∠AOB=

2 3

2

=

3

，∠AOB=60°，且AB=EP，∠BAO=∠EPO=90°，故B、E、D三点共线．
分类讨论：①当0＜m≤2时，如图2，重叠部分是等边△OO₁F₁；
②当2＜m≤4时，如图3，重叠部分的面积为四边形A₂O₂F₂H．
③当4＜m≤6时，如图4，重叠部分的面积为△A₃B₃O₃；
④当6＜m＜8时，如图5，重叠部分的面积为四边形CF₄B₄A₄．

解答：解：（1）如图1，△ABO即为所求；

（2）如图1，过点E作EP⊥OC于P．
∵OC=6，∴C（6，0）．
∵OE=4，∠EOC=60°，
∴OP=OE•cos60°=2，EP=OE•sin60°=2

3

，
∴E（2，2

3

）．
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴ED

∥

.

OC，∴D（8，2

3

）．
设过O、C、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），把点D，C的坐标代入，得

0=36a+6b 2 3 =64a+8b

，
解得

a= 3 8 b=- 3 4 3

，
则该抛物线的解析式为：y=

3

8

x²-

3 3

4

x；

（3）由（2）可得tan∠AOB=

2 3

2

=

3

，
∴∠AOB=60°，且AB=EP，∠BAO=∠EPO=90°，
∴B、E、D三点共线．
①当0＜m≤2时，如图2，重叠部分是等边△OO₁F₁，则y=

3

4

m²；
②当2＜m≤4时，如图3，重叠部分的面积为四边形A₂O₂F₂H．
OA₂=m-2，A₂H=（m-2）•tan60°=

3

（m-2），
则y=

3

4

m²-

3

2

（m-2）²=-

3

4

m²+2

3

m-2

3

；
③当4＜m≤6时，如图4，重叠部分的面积为△A₃B₃O₃，则y=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
④当6＜m＜8时，如图5，重叠部分的面积为四边形CF₄B₄A₄，则y=2

3

-

3

4

（m-6）²=-

3

4

m²+3

3

m-7

3

．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了平行四边形的性质，旋转、平移的性质，待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的计算．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．