【题目】如图,在平面直角坐标系中,△CDE的顶点C点坐标为C(1,﹣2),点D的横坐标为,将△CDE绕点C旋转到△CBO,点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A.
(1)图中,∠OCE等于∠_____;
(2)求抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点P,使S△PAE=S△CDE?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)BCD;(2)y=x2﹣x﹣;(3)存在;(1+,1)或(1﹣,1)或(1+,﹣1)或(1﹣,1).
【解析】
(1)根据旋转的性质易得∠OCE=∠BCD;
(2)(2)作CH⊥OE于H,如图,根据旋转的性质得CO=CE,CB=CD,OB=DE,则利用等腰三角形的性质得OH=HE=1,则E点坐标为(2,0),设B(m,0),D(,n),再利用两点间的距离公式求得m、n的值,然后设顶点式y=a(x-1)2-2,再把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式;
(3)先利用抛物线的对称性得到A(-1,0),再根据旋转的性质得△CDE≌△CBO,则S△CDE=S△CBO=3,设P(t,t2﹣t﹣),利用三角形面积公式得到关于t的方程,解关于t的一元二次方程求出t,从而可得到满足条件的P点坐标.
解:(1)∵△CDE绕点C旋转到△CBO,
∴∠OCE=∠BCD;
故答案为BCD;
(2)作CH⊥OE于H,如图,
∵△CDE绕点C旋转到△CBO,
∴CO=CE,CB=CD,OB=DE,
∴OH=HE=1,
∴OE=2,
∴E点坐标为(2,0),
设B(m,0),D(,n),
∵CD2=(1﹣)2+(﹣2﹣n)2 , CB2=(1﹣m)2+22 , DE2=(2﹣)2+n2 ,
∴(1﹣)2+(﹣2﹣n)2=(1﹣m)2+22 , (2﹣)2+n2=m2 ,
∴m=3,n=﹣,
∴B(3,0),
设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2﹣2,
把B(3,0)代入得4a﹣2=0,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣1)2﹣2,即y=x2﹣x﹣;
(3)存在.
A与点B关于直线x=1对称,
∴A(﹣1,0),
∵△CDE绕点C旋转到△CBO,
∴△CDE≌△CBO,
∴S△CDE=S△CBO=23=3,
设P(t,t2﹣t﹣),
∵S△PAE=S△CDE ,
∴3|t2﹣t﹣|=3,
∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1,
解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+,t2=1﹣,此时P点坐标为(1+,1)或(1﹣,1);
解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+,t2=1﹣,此时P点坐标为(1+,﹣1)或(1﹣,1);
综上所述,满足条件的P点坐标为(1+,1)或(1﹣,1)或(1+,﹣1)或(1﹣,1).
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【题目】如图,正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16,△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3=_____.
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【题目】如图,AB为半圆O的在直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,连接OD、OC,下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=CD,③,④OD:OC=DE:EC,⑤,正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机,已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元.
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你计算一下商场有哪几种进货方案?
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,应选择哪种方案?
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【题目】已知:抛物线y=x2+bx+c经过点(2,-3)和(4,5)。
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)将抛物线沿x轴翻折,得到图象G,求图象G的表达式;
(3)在(2)的条件下,当-2<x<2时,直线y=m与该图象有一个公共点,求m的值或取值范围。
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【题目】下列游戏对双方公平的是( )
A. 随意转动被等分成个扇形,且分别均匀涂有红、黄、绿三种颜色的转盘,若指针指向绿色区域,则小明胜,否则小亮胜
B. 从一个装有个红球,个黄球和个黑球(这些球除颜色外完全相同)的袋中任意摸出一个球,若是红球,则小明胜,否则小亮胜
C. 投掷一枚均匀的正方体形状的骰子,若偶数点朝上,则小明胜,若是奇数点朝上,则小亮胜
D. 从分别标有数,,,,的五张纸条中,任意抽取一张,若抽到的纸条所标的数字为偶数,则小明胜,若抽到的纸条所标的数字为奇数,则小亮胜
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【题目】如图,有一个可以自由转动的转盘,被均匀分成等份,分别标上、、、、五个数字.甲乙两人玩一个游戏,其规则如下:任意转动转盘一次,转盘停止后,指针指向一个数字,如果所得的数字是偶数,则甲胜;如果所得的数字是奇数,则乙胜.
(1)转出的数字是的概率是________
(2)转出的数字不大于的概率是________
(3)转出的数字是偶数的概率是________
(4)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平?为什么?
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【题目】如图所示是二次函数y=ax2+bx+c的图象.下列结论:①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;②使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2;③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-1;④该抛物线的对称轴是直线x=-1;⑤4a-2b+c<0.其中正确的结论有______________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
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【题目】在坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和B(1,0),与y轴交于点C,
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点,当△DAC的面积最大时,求点D的坐标;
(3)设抛物线顶点关于y轴的对称点为M,记抛物线在第二象限之间的部分为图象G.点N是抛物线对称轴上一动点,如果直线MN与图象G有公共点,请结合函数的图象,直接写出点N纵坐标t的取值范围.
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