Question

【题目】如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．

(1)求B，C两点的坐标．

(2)求该二次函数的解析式．

(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

(4)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）y=-x2+x+2；（3）存在，P1(，4)，P2()，P3(，-)；（4）当a=2时，S四边形CDBF的最大值=，此时E(2，1)．

【解析】

（1）分别令解析式y=-x+2中x=0，y=0，求出点B，点C的坐标；

（2）二次函数的解析式为，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a，b，c的值，进而求出二次函数的解析式；

（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于，以点D为圆心，CD为半径作圆交对称轴于，，作CE垂直对称轴于点E，由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；

（4）设点E的坐标为，就可以表示出F的坐标，由求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

解：(1)在y=-x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，

即B(4，0)，C(0，2)．

(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

将点A，B，C的坐标代入解析式，得

，

解得

即该二次函数的解析式为y=-x2+x+2．

(3)存在．∵y=-x2+x+2，

∴y=-(x-)2+，

∴抛物线的对称轴是直线x=，∴OD=．

∵C(0，2)，∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．

∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3=CD．

如图①所示，作CH⊥对称轴于点H，∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1(，4)，P2()，P3(，-)．

(4)∵B(4，0)，C(0，2)，

∴直线BC的解析式为y=-x+2．

如图②，过点C作CM⊥EF于点M，

设E(a，-a+2)，F(a，-a2+a+2)，

∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN

=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)

=-a2+4a+

=-(a-2)2+，

∴当a=2时，S四边形CDBF的最大值=，此时E(2，1)．