Question

【题目】阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：如图，过圆外一点作圆的切线.

已知：P为⊙O外一点.

求作：经过点P的⊙O的切线.

小敏的作法如下：如图，

(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C.

(2)以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点.

(3)作直线PA，PB.

所以直线PA，PB就是所求作的切线.

老师认为小敏的作法正确.

请回答：

(1)连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是_________.

(2)如果⊙O的半径等于3，点P到切点的距离为4，求点A与点B之间的距离.

Answer 1

【答案】（1）直径所对的圆周角是直角；（2）

【解析】

（1）直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论；

（2）连接OA,AB交OP于点E,根据切线的性质，可得∠OAP =90°，AE⊥OP,根据勾股定理求出OP,再根据等面积法求出AE,即可求出AB.

（1）解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；

由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．

故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．

（2）连接OA,AB交OP于点E,

因为PA是⊙O的切线，

所以∠OAP =90°，

在直角三角形OAP中，由勾股定理可得:OP=5,

因为AE⊥OP,

所以 ,

所以AE=,

所以AB=.